青雀进暗杠的抽牌数期望¶

用 马尔可夫链（Markov chain） 暴力计算。顺便复习一下线代。

起因¶

看到这两个视频以后，心血来潮算的。

这下真看 V 看的了。

青雀的抽牌机制¶

天赋 帝垣琼玉

我方目标回合开始时，青雀会从 3 种不同花色的琼玉牌中随机抽取 1 张，最多持有 4 张琼玉牌。青雀回合开始时，若持有的琼玉牌数为 4 且花色相同，青雀消耗所有琼玉牌进入【暗杠】状态。处于【暗杠】状态时无法再次施放战技，同时使自身攻击力提高，普攻【门前清】强化为【杠上开花！】，【暗杠】状态会在施放【杠上开花！】后结束。

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战技 海底捞月

立即抽取 2 张琼玉牌，使自身造成的伤害提高，持续至本回合结束。该效果可以叠加 4 次。施放该战技后，本回合不会结束。¹

牌堆里有 3 种花色，最多同时持有 4 张牌，4 个花色相同则进暗杠。可以忽略牌的具体花色，把牌型抽象成 AABC、AABB、AAAB、AAAA 四种，AAAA 表示进入暗杠。

青雀的摸牌是一个将琼玉牌从牌堆中取出并记录其内容，然后再将刚刚摸到的牌归还牌堆的过程，而非从牌堆中摸取琼玉牌并保留于手中的过程。根据青雀的摸牌规则（留多去少）我们又可以推导出：AAAA、AAAB、AABB、AABC 是一个层级系统，后者可以向前者晋升，前者却不可向后者跌落。²

假设青雀牌堆里，各花色的牌都有无穷多张。战技抽牌流程：先抽 2 张，再去掉手里 6 张中花色数量最少的 2 张。

马尔可夫链¶

flowchart LR
    AABC([AABC]) -- 6/9 --> AAAB
    AABC -- 2/9 --> AABB
    AABC -- 1/9 --> AAAA

    AABB([AABB]) -- 6/9 --> AAAB
    AABB --1/9 --> AABB
    AABB -- 2/9 --> AAAA

    AAAB([AAAB]) -- 4/9 --> AAAB
    AAAB -- 5/9 --> AAAA

    AAAA([AAAA]) -- 1 --> AAAA

为了避免图太乱，权为 \(0\) 的边就不画了。可以列出下表

转移矩阵

记

• \(a_n\) 为第 \(n\) 次抽牌后，牌型为 AABC 的概率
• \(b_n\) 为第 \(n\) 次抽牌后，牌型为 AABB 的概率
• \(c_n\) 为第 \(n\) 次抽牌后，牌型为 AAAB 的概率
• \(d_n\) 为第 \(n\) 次抽牌后，牌型为 AAAA 的概率

可以得到公式

不同牌型的抽牌数期望¶

先要把 \(A\) 对角化。由

得

可求得特征值和对应的特征向量为

• \(\lambda_1=0\)，\(v_1=(2,-4,3,-1)^T\)。
• \(\lambda_2=\dfrac{1}{9}\)，\(v_2=(0,1,-2,1)^T\)。
• \(\lambda_3=\dfrac{4}{9}\)，\(v_3=(0,0,1,-1)^T\)。
• \(\lambda_4=1\)，\(v_4=(0,0,0,1)^T\)。

记

因为

不为 \(0\)，所以

故

\(P\) 的 伴随矩阵

\(P\) 的逆矩阵

所以

上式中 \(n \ge 1\)。抽牌数的 数学期望

式中 \(d_0\) 是参数，不可以用 \(d_n\) 的通项计算，只能拿出来单独处理。展开后即

令

• \(k_1=\dfrac{5}{9}\left(\dfrac{5}{2}a_0+2b_0+c_0\right)\)
• \(k_2=-\dfrac{8}{9}\left(2a_0+b_0\right)\)
• \(S(q)=\displaystyle\sum\limits_{n=2}^{\infty} \left( k_1n(4q)^{n-1} + k_2nq^{n-1} \right)\)

则

由

得

进而解出

抽牌数综合期望¶

起始牌型的概率分布

取

算得

牌型分布¶

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