希尔排序¶

希尔排序也叫缩小增量排序 (Diminishing Increment Sort)。

希尔排序的出发点：

• 直接插入排序 的算法简单，在 \(n\) 很小时效率也比较高。
• 待排序的序列越趋近于正序，直接插入排序的效率就越高。最好的情况下，时间复杂度是 \(O(n)\)。

思想：将序列按增量 \(gap\) 分为若干个子序列 nums[i::gap] (\(i=0,1,\cdots,gap-1\)) 分别做直接插入排序，重复几次，使原序列「基本有序」，即满足

的元素较少。然后，对原序列再做一次直接插入排序。

子序列的增量 \(gap\) 每次都是不一样的，有很多种选法，目前还没有人找到最好的选法。但是要求：

• 所有的增量值之间最好不要有除了 \(1\) 以外的公因子。
• 最后一个增量值必须为 \(1\)。这样才能在最后对整个序列做一次直接插入排序。

分析¶

• 时间复杂度和增量的选取有关。有人做了大量实验，得出 \(n\) 在某个特定范围时，大约是 \(O(n^{1.3})\)；\(n \to \infty\) 时，可减少到 \(O(n \log^2 n)\)。
• 空间复杂度：\(O(1)\)。
• 不稳定的排序算法。

模板¶

这里选择的增量为 \(gap_1=\left \lfloor \dfrac{n}{2} \right \rfloor\)，\(gap_n=\left \lfloor \dfrac{gap_{n-1}}{2} \right \rfloor\)。

#define MAX_N 1000000

int N;
int nums[MAX_N];

void shellInsert(int gap)
{
    for (int i = gap;i < N;i++)
    {
        int temp = nums[i];
        int j = i - gap;
        while (j >= 0 && nums[j] > temp)
        {
            nums[j + gap] = nums[j];
            j -= gap;
        }
        nums[j + gap] = temp;
    }
}

void shellSort()
{
    // 选择增量
    for (int i = N / 2;i >= 1;i /= 2)
    {
        shellInsert(i);
    }
}

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