冲激函数¶
用函数序列极限来定义
\[ \delta(t) := \lim_{n \to \infty} p_n(t) = \left\{\begin{matrix} +\infty , &t=0 \\ 0, &t\neq0 \end{matrix}\right. \]
它是一个奇异函数。
性质¶
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积分面积（强度）为 1
\[ \int_{-\infty }^{+\infty }\delta(t)\mathrm{d}t=1 \] -
取样性质
\[ f(t)\delta(t)=f(0)\delta(t) \]\[ f(t)\delta(t-a)=f(a)\delta(t-a) \] -
冲激偶 \(\delta'(t)\)
\[ f(t)\delta'(t)=f(0)\delta'(t)-f'(0)\delta(t) \] -
尺度变换
\[ \delta(at)=\frac{1}{\left|a\right|}\delta(t) \]\[ \delta(at-t_0)=\frac{1}{\left|a\right|}\delta(t-\frac{t_0}{a}) \]\[ \delta^{(n)}(at)=\frac{1}{\left|a\right|} \cdot \frac{1}{a^n}\delta^{(n)}(t) \] -
由尺度变换的推论
\[ \delta^{(n)}(-t)=(-1)^n\delta^{(n)}(t) \]可知 \(\delta(t)\) 为偶函数，\(\delta'(t)\) 为奇函数。
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复合函数形式
\[ \delta[f(t)]=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\left | f'(t_i) \right |} \delta(t-t_i) \]其中 \(t_i(i=1,2,\cdots,n)\) 是 \(f(t)=0\) 的 \(n\) 个互不相等的实根。如果有重根，则 \(\delta[f(t)]\) 无意义。
广义函数¶
用 广义函数 定义
\[ \int_{-\infty}^{+\infty }\delta(t)\varphi(t) \mathrm{d}t=\varphi(0) \]
\[ \int_{-\infty}^{+\infty }\delta'(t)\varphi(t) \mathrm{d}t=-\varphi'(0) \]
\[ \int_{-\infty}^{+\infty }\delta^{(n)}(t)\varphi(t) \mathrm{d}t=(-1)^n\varphi^{(n)}(0) \]
与阶跃函数的关系¶
是 阶跃函数 的导数
\[ \delta(t)=\frac{\mathrm{d} \varepsilon(t)}{\mathrm{d} t} \]
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