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区间估计

对于一个未知参数 \(\theta\)，除了它的估计值 \(\hat{\theta}\) 外，还需要估计误差。估计出一个区间范围，同时给出它包含参数 \(\theta\) 真值的可信程度，这种形式的估计叫区间估计。

双侧置信区间

设总体 \(X\) 的分布函数 \(F(x;\theta)\) 的形式为已知，\(\theta\) 为未知参数，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 为来自总体 \(X\) 的一个样本。如果 \(\forall 0<\alpha<1\)，能由样本确定统计量 \(\underline{\theta}=\underline{\theta}(X_1,X_2,\cdots,X_n)\) 与 \(\overline{\theta}=\overline{\theta}(X_1,X_2,\cdots,X_n)\)，使得

\[ P \left (\underline{\theta}(X_1,X_2,\cdots,X_n)<\theta<\overline{\theta}(X_1,X_2,\cdots,X_n) \right ) = 1-\alpha \]

则称随机区间 \((\underline{\theta}, \ \overline{\theta})\) 为参数 \(\theta\) 的置信水平为 \(1-\alpha\) 的（双侧）置信区间，\(\underline{\theta}\) 与 \(\overline{\theta}\) 分别称为置信下限和置信上限，\(1-\alpha\) 称为置信水平、置信度。

含义：若反复抽样多次（每次样本容量相等），每组样本值确定一个区间 \((\underline{\theta}, \ \overline{\theta})\)，每个这样的区间要么包含 \(\theta\) 的真值，要么不包含。由 Bernoulli LLN 知，这么多区间中，包含 \(\theta\) 的真值的约占 \(100(1-\alpha)\%\)，不包含的约占 \(100\alpha\%\)。

  • 当总体 \(X\) 是离散型随机变量时，对于给定的 \(\alpha\)，常常找不到区间 \((\underline{\theta}, \ \overline{\theta})\) 使得 \(P \left (\underline{\theta}<\theta<\overline{\theta} \right )\) 恰好为 \(1-\alpha\)。这时，可以找使得 \(P \left (\underline{\theta}<\theta<\overline{\theta} \right )\) 不小于且最接近 \(1-\alpha\) 的区间 \((\underline{\theta}, \ \overline{\theta})\)。
  • 置信水平为 \(1-\alpha\) 的置信区间不是唯一的。区间长度越短，表示估计的精度越高，区间越优。

  • 求参数 \(\theta\) 的置信水平为 \(1-\alpha\) 的双侧置信区间的步骤

    1. 选一个样本 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 的函数

      \[ Z = Z(X_1,X_2,\cdots,X_n;\theta) \]

      \(Z\) 包含待估参数 \(\theta\) 且分布已知，但不依赖其他未知参数。

    2. 选定常数 \(a,b\)，使得

      \[ P \left (a<Z(X_1,X_2,\cdots,X_n;\theta)<b \right )=1-\alpha \]

    3. 求出 \(a<Z(X_1,X_2,\cdots,X_n;\theta)<b\) 的等价不等式 \(\underline{\theta}<\theta<\overline{\theta}\)，其中 \(\underline{\theta}=\underline{\theta}(X_1,X_2,\cdots,X_n)\) 与 \(\overline{\theta}=\overline{\theta}(X_1,X_2,\cdots,X_n)\) 都是统计量，从而求出区间 \((\underline{\theta}, \ \overline{\theta})\)。

单侧置信区间

设总体 \(X\) 的分布函数 \(F(x;\theta)\) 的形式为已知，\(\theta\) 为未知参数，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 为来自总体 \(X\) 的一个样本。

  • 如果 \(\forall 0<\alpha<1\)，能由样本确定统计量 \(\underline{\theta}=\underline{\theta}(X_1,X_2,\cdots,X_n)\)，使得

    \[ P \left (\theta > \underline{\theta}(X_1,X_2,\cdots,X_n) \right ) = 1-\alpha \]

    则称随机区间 \((\underline{\theta}, \ +\infty)\) 为参数 \(\theta\) 的置信水平为 \(1-\alpha\) 的单侧置信区间，\(\underline{\theta}\) 称为单侧置信下限。

  • 如果 \(\forall 0<\alpha<1\)，能由样本确定统计量 \(\overline{\theta}=\overline{\theta}(X_1,X_2,\cdots,X_n)\)，使得

    \[ P \left (\theta<\overline{\theta}(X_1,X_2,\cdots,X_n) \right ) = 1-\alpha \]

    则称随机区间 \((-\infty, \ \overline{\theta})\) 为参数 \(\theta\) 的置信水平为 \(1-\alpha\) 的单侧置信区间，\(\overline{\theta}\) 称为单侧置信上限。

其中，\(1-\alpha\) 称为置信水平、置信度。

单正态总体参数

设总体 \(X \sim N(\mu,\sigma^2)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 为来自总体 \(X\) 的一个样本，样本均值为 \(\overline{X}\)，样本方差为 \(S^2\)。

求 \(\mu\) 的置信水平为 \(1-\alpha\) 的置信区间：

条件 \(\sigma^2\) 已知 \(\sigma^2\) 未知
枢轴量 \(\dfrac{\overline{X} -\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)\) \(\dfrac{\overline{X} -\mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)\)
双侧 \(\left ( \overline{X} - \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{\alpha/2},\ \overline{X} + \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{\alpha/2} \right )\) \(\left ( \overline{X} - \dfrac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1),\ \overline{X} + \dfrac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1) \right )\)
单侧 1 \(\left ( \overline{X} - \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{\alpha},\ +\infty \right )\) \(\left ( \overline{X} - \dfrac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha}(n-1),\ +\infty \right )\)
单侧 2 \(\left (-\infty ,\ \overline{X} + \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{\alpha} \right )\) \(\left (-\infty ,\ \overline{X} + \dfrac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha}(n-1) \right )\)

求 \(\sigma^2\) 的置信水平为 \(1-\alpha\) 的置信区间：

条件 \(\mu\) 已知 \(\mu\) 未知
枢轴量 \(\dfrac{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n (X_i -\mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n)\) \(\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)\)
双侧 \(\left ( \dfrac{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n (X_i -\mu)^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n)},\ \dfrac{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n (X_i -\mu)^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n)} \right )\) \(\left ( \dfrac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)},\ \dfrac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)} \right )\)
单侧 1 \(\left ( \dfrac{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n (X_i -\mu)^2}{\chi^2_{\alpha}(n)},\ +\infty \right )\) \(\left ( \dfrac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha}(n-1)},\ +\infty \right )\)
单侧 2 \(\left (0 ,\ \dfrac{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n (X_i -\mu)^2}{\chi^2_{1-\alpha}(n)} \right )\) \(\left (0 ,\ \dfrac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha}(n-1)} \right )\)

双正态总体参数

设 \(X_1,X_2,\cdots,X_{n_1}\) 为来自第一个总体 \(X \sim N(\mu_1,\sigma_1^2)\) 的一个样本，样本均值为 \(\overline{X}\)，样本方差为 \(S_1^2\)。

设 \(Y_1,Y_2,\cdots,Y_{n_2}\) 为来自第二个总体 \(Y \sim N(\mu_2,\sigma_2^2)\) 的一个样本，样本均值为 \(\overline{Y}\)，样本方差为 \(S_2^2\)。

两个样本构成的合样本 \(X_1,X_2,\cdots,X_{n_1}, Y_1,Y_2,\cdots,Y_{n_2}\) 相互独立。

求 \(\mu_1-\mu_2\) 的置信水平为 \(1-\alpha\) 的置信区间：

条件 \(\sigma_1^2,\sigma_2^2\) 已知 \(\sigma_1^2=\sigma_2^2\) 但未知
枢轴量 \(\dfrac{\overline{X}-\overline{Y} - (\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}} \sim N(0,1)\) \(\dfrac{\overline{X}-\overline{Y} - (\mu_1-\mu_2)}{S_\omega\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}} \sim t(n_1 + n_2 - 2) \ \left (\text{其中 } S_\omega=\sqrt{\dfrac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2}} \right )\)
双侧 \(\left ( \overline{X}-\overline{Y} - \sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}} z_{\alpha/2},\ \overline{X}-\overline{Y} + \sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}} z_{\alpha/2} \right )\) \(\left ( \overline{X}-\overline{Y} - S_\omega\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}} t_{\alpha/2}(n_1 + n_2 - 2),\ \overline{X}-\overline{Y} + S_\omega\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}} t_{\alpha/2}(n_1 + n_2 - 2) \right )\)
单侧 1 \(\left ( \overline{X}-\overline{Y} - \sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}} z_{\alpha},\ +\infty \right )\) \(\left ( \overline{X}-\overline{Y} - S_\omega\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}} t_{\alpha}(n_1 + n_2 - 2),\ +\infty \right )\)
单侧 2 \(\left (-\infty ,\ \overline{X}-\overline{Y} + \sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}} z_{\alpha} \right )\) \(\left (-\infty ,\ \overline{X}-\overline{Y} + S_\omega\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}} t_{\alpha}(n_1 + n_2 - 2) \right )\)

求 \(\dfrac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\) 的置信水平为 \(1-\alpha\) 的置信区间：

条件 \(\mu_1,\mu_2\) 已知 \(\mu_1,\mu_2\) 未知
枢轴量 \(\dfrac{n_2\sigma_2^2\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n_1} (X_i -\mu_1)^2}{n_1\sigma_1^2\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n_2} (Y_i -\mu_2)^2} \sim F(n_1,n_2)\) \(\dfrac{\sigma_2^2 S_1^2}{\sigma_1^2 S_2^2} \sim F(n_1-1,n_2-1)\)
双侧 \(\left ( \dfrac{n_2\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n_1} (X_i -\mu_1)^2}{n_1\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n_2} (Y_i -\mu_2)^2} \dfrac{1}{F_{\alpha/2}(n_1,n_2)},\ \dfrac{n_2\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n_1} (X_i -\mu_1)^2}{n_1\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n_2} (Y_i -\mu_2)^2} F_{\alpha/2}(n_2,n_1) \right )\) \(\left ( \dfrac{S_1^2}{S_2^2} \dfrac{1}{F_{\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)},\ \dfrac{S_1^2}{S_2^2} F_{\alpha/2}(n_2-1,n_1-1) \right )\)
单侧 1 \(\left ( \dfrac{n_2\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n_1} (X_i -\mu_1)^2}{n_1\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n_2} (Y_i -\mu_2)^2} \dfrac{1}{F_{\alpha}(n_1,n_2)},\ +\infty \right )\) \(\left ( \dfrac{S_1^2}{S_2^2} \dfrac{1}{F_{\alpha}(n_1-1,n_2-1)},\ +\infty \right )\)
单侧 2 \(\left (0 ,\ \dfrac{n_2\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n_1} (X_i -\mu_1)^2}{n_1\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n_2} (Y_i -\mu_2)^2} F_{\alpha}(n_2,n_1) \right )\) \(\left (0 ,\ \dfrac{S_1^2}{S_2^2} F_{\alpha}(n_2-1,n_1-1) \right )\)

0-1 分布总体参数

设总体 \(X \sim B(1,p)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 为来自总体 \(X\) 的一个样本（需要满足 \(n>50\)，为大样本），样本均值为 \(\overline{X}\)。

由 中心极限定理，

\[ \frac{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} X_i-np}{\sqrt{np(1-p)}} = \frac{n\overline{X}-np}{\sqrt{np(1-p)}} \]

近似服从 \(N(0,1)\)，求得参数 \(p\) 的置信水平为 \(1-\alpha\) 的置信区间为

\[ \left ( \frac{1}{2a} \left (-b-\sqrt{b^2-4ac} \right ),\ \frac{1}{2a} \left (-b+\sqrt{b^2-4ac} \right ) \right ) \]

其中 \(a=n+z_{\alpha/2}^2\)，\(b=-(2n\overline{X}+z_{\alpha/2}^2)\)，\(c=n\overline{X}^2\)。