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随机变量

设 \(\Omega = \{ \omega \}\) 是随机试验的样本空间，称定义在样本空间 \(\Omega\) 上的单值实值函数 \(X = X \left(\omega \right)\) 为随机变量。

\(\forall L \subset \mathbb{R}\)，则 \(\{ X \in L \}\) 表示事件 \(\{ \omega \mid X \left(\omega \right) \in L \}\)，即样本空间中满足 \(X \left(\omega \right) \in L\) 的所有样本点 \(\omega\) 组成的事件。

随机变量的分布函数

设 \(X\) 是一个随机变量，称函数

\[ F \left(x \right) = P \left(X \le x \right),\ x \in \mathbb{R} \]

为随机变量 \(X\) 的分布函数 (distribution function) 或者累积分布函数 (cumulative distribution function、CDF)。

  • \(0 \le F \left(x \right) \le 1 \ (x \in \mathbb{R})\)，且 \(F \left(-\infty \right) = 0\)，\(F \left(+\infty \right) = 1\)。
  • \(F \left(x \right)\) 是 单调不减 的 右连续 函数。

满足这两条性质的 \(F \left(x \right)\)，也一定是某个随机变量的分布函数。

\(\forall x_1 < x_2\)，有

\[ P \left(x_1 < X \le x_2 \right) = F \left(x_2 \right) - F \left(x_1 \right) \]

离散型随机变量

设 \(X\) 是随机变量，如果其可能的取值为有限个或可列无限多个，则称 \(X\) 为离散型随机变量 (discrete random variable)。

分布律

设 \(X\) 是离散型随机变量，其可能的取值为 \(x_1, x_2, \cdots, x_i, \cdots\) 称

\[ P \left(X=x_i \right) = p_i \ , \ i=1,2, \cdots \]

为 \(X\) 的分布律 (probability mass function)，或表示为

\(X\) \(x_1\) \(x_2\) \(\cdots\) \(x_i\) \(\cdots\)
\(P\) \(p_1\) \(p_2\) \(\cdots\) \(p_i\) \(\cdots\)
  • \(p_i \ge 0 \left(i=1,2,\cdots \right)\)。
  • \(\displaystyle\sum\limits_{i} p_i = 1\)。

满足这两条性质的一列数，也一定是某个离散型随机变量的分布律。

分布函数

设离散型随机变量 \(X\) 的分布律为

\[ P \left(X=x_i \right) = p_i \ , \ i=1,2, \cdots \]

则 \(X\) 的分布函数为

\[ F \left(x \right) = \sum\limits_{x_i \le x} p_i \ , \ x \in \mathbb{R} \]

可从 \(F \left(x \right)\) 的间断点（函数值发生跳跃的地方）逆推出 \(X\) 的分布律。

若 \(x_i \left(i=1,2,\cdots \right)\) 为 \(F \left(x \right)\) 的间断点，则 \(X\) 的分布律为

\[ \begin{align} p_i &= P \left(X=x_i \right) \\\\ &= F \left(x_i + 0 \right) - F \left(x_i - 0 \right) \\\\ &= F \left(x_i \right) - F \left(x_i - 0 \right) \end{align} \]

连续型随机变量

概率密度

设 \(X\) 是随机变量，其分布函数为 \(F\left(x \right)\)，如果存在非负可积函数 \(f\left(x \right)\)，使得

\[ F\left(x \right)=\int_{-\infty}^{x} f\left(t \right) \mathrm{d}t \ , \ -\infty<x<+\infty \]

则称 \(X\) 为连续型随机变量 (continuous random variable)，称 \(f\left(x \right)\) 为 \(X\) 的概率密度函数 (probability density function)，简称概率密度。

  • \(f\left(x \right) \ge 0 \ \left(-\infty<x<+\infty \right)\)。
  • \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\left(x \right) \mathrm{d}x = 1\)。

满足这两条性质的 \(f \left(x \right)\)，也一定是某个连续型随机变量的概率密度。

  • \(P\left(a < X \le b \right) = \displaystyle\int_{a}^{b} f\left(x \right) \mathrm{d}x\)。
  • 在 \(f\left(x \right)\) 的连续点 \(x\) 处，有 \(F'\left(x \right)=f\left(x \right)\)。
  • \(F\left(x \right)\) 在 \(\left(-\infty, +\infty \right)\) 上连续。
  • \(P\left(X=a \right)=0\)，但 \(\{ X=a \}\) 不是 不可能事件。（不可能事件的概率是零，但概率是零的事件未必是不可能事件。）
\[ P\left(a < X \le b \right)=P\left(a \le X < b \right)=P\left(a < X < b \right)=P\left(a \le X \le b \right) \]
\[ F\left(x \right) = P\left(X \le x \right) = P\left(X < x \right) = \int_{-\infty}^{x} f\left(t \right) \mathrm{d}t \]
\[ P\left(X \ge x \right) = P\left(X > x \right) = \int_{x}^{+\infty} f\left(t \right) \mathrm{d}t \]

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