估计量的评选标准¶
设 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 为来自总体 \(X\) 的一个样本，\(\theta \in \Theta\) 为包含在总体 \(X\) 的分布中的未知参数。
无偏性¶
设 \(\hat{\theta}=\hat{\theta}(X_1,X_2,\cdots,X_n)\) 是 \(\theta\) 的估计量。如果 \(\forall\theta \in \Theta\)，有
\[ E\hat{\theta}=\theta \]
则称 \(\hat{\theta}\) 为 \(\theta\) 的无偏估计量。
- 以 \(\hat{\theta}\) 作为 \(\theta\) 的估计的系统误差：\(E(\hat{\theta}-\theta)\)。
- 无偏估计：无系统误差。
有效性¶
设 \(\hat{\theta}_1=\hat{\theta}_1(X_1,X_2,\cdots,X_n)\) 与 \(\hat{\theta}_2=\hat{\theta}_2(X_1,X_2,\cdots,X_n)\) 都是 \(\theta\) 的无偏估计量。如果 \(\forall\theta \in \Theta\)，有
\[ D\hat{\theta}_1<D\hat{\theta}_2 \]
则称 \(\hat{\theta}_1\) 较 \(\hat{\theta}_2\) 有效。
一致性（相合性）¶
设 \(\hat{\theta}_n=\hat{\theta}_n(X_1,X_2,\cdots,X_n)\) 是 \(\theta\) 的估计量。如果 \(\forall\theta \in \Theta\)
\[ \hat{\theta}_n \overset{P}{\longrightarrow} \theta, \ n \to \infty \]
则称 \(\hat{\theta}_n\) 是 \(\theta\) 的一致（相合）估计量。
- 如果估计量不具有一致性（相合性），那么不论将样本容量 \(n\) 取多大，都不能将参数 \(\theta\) 估计得足够准确。这样的估计量是不可取的。
- 矩估计量 都是相合估计量。