随机变量函数¶
设 \(X\) 是 随机变量，\(y=g \left(x \right)\) 是已知的连续函数，则称 \(Y=g \left(X \right)\) 为随机变量 \(X\) 的函数，简称随机变量函数。\(Y\) 也是一个随机变量。
离散型随机变量函数的分布¶
\[ P \left(X=x_i \right) = p_i \ , \ i=1,2, \cdots \]
则 \(Y=g \left(X \right)\) 也是离散型随机变量，其分布律为
\[ P\left(Y=y_j \right)=P\left(g \left(X \right)=y_j \right)=\sum_{g \left(x_i \right)=y_j} p_i \]
连续型随机变量函数的分布¶
设 连续型随机变量 \(X\) 的 概率密度 函数为 \(f_X \left(x \right)\)。
分布函数法¶
\(Y=g\left(X \right)\) 的分布函数为
\[ F_Y \left(y \right) = P \left(Y \le y \right) = P \left(g \left(X \right) \le y \right)=\int_{g\left(x \right) \le y} f_X \left(t \right) \mathrm{d}t \]
上式表示，在使得 \(g\left(x \right) \le y\) 的 \(x\) 的区间上积分。
从而 \(Y\) 的 概率密度 为
\[ f_Y \left(y \right)=F_Y' \left(y \right) \]
公式法¶
设 \(y=g\left(x \right)\) 严格单调可微，则 \(Y=g\left(X \right)\) 的 概率密度 为
\[ f_Y\left(y \right)=\begin{cases} f_X\left(h\left(y \right) \right) \left | h'\left(y \right) \right | &,\ y \in I \\\\ 0 &,\ \text{其他} \end{cases} \]
其中，\(x=h\left(y \right)\) 是 \(y=g\left(x \right)\) 的反函数。\(I\) 是使得 \(f_X\left(h\left(y \right) \right)>0\)，\(h\left(y \right)\) 和 \(h'\left(y \right)\) 有意义的 \(y\) 的集合。