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线性微分方程

\[ y^{(n)} + a_1(x)y^{(n - 1)} + \cdots + a_{n - 1}(x)y' + a_n(x)y = f(x) \]
  • 线性：方程对于未知函数 \(y\) 及其导数是一次方程。
  • 齐次： \(f(x) \equiv 0\) 。

解的结构

定理一

如果函数 \(y_1(x)\) 与 \(y_2(x)\) 是二阶齐次线性方程

\[ y'' + P(x)\,y' + Q(x)\,y = 0 \]

的两个解，那么

\[ y = C_1\,y_1(x) + C_2\,y_2(x) \]

也是方程的解，其中 \(C_1, C_2\) 是任意常数。当且仅当 \(y_1(x)\) 与 \(y_2(x)\) 线性相关 时，上式为方程的通解。

推论

如果 \(y_1(x), y_2(x), \cdots, y_n(x)\) 是 \(n\) 阶齐次线性方程

\[ y^{(n)} + a_1\,y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}\,y' + a_n\,y = 0 \]

的 \(n\) 个线性无关的解，那么，此方程的通解为

\[ y = C_1\,y_1(x) + C_2\,y_2(x) + \cdots + C_n\,y_n(x) \]

其中 \(C_1, C_2, \cdots, C_n\) 为任意常数。

定理二

设 \(y^*(x)\) 是二阶非齐次线性方程

\[ y'' + P(x)\,y' + Q(x)\,y = f(x) \]

的一个特解。 \(Y(x)\) 是对应齐次方程的通解，则

\[ y = Y(x) + y^*(x) \]

是原方程的通解。（可推广到 \(n\) 阶）

叠加原理

对于二阶非齐次线性方程

\[ y'' + P(x)\,y' + Q(x)\,y = f_1(x) + f_2(x) \]

如果 \(y_1^*(x)\) 与 \(y_2^*(x)\) 分别是方程

\[ y'' + P(x)\,y' + Q(x)\,y = f_1(x) \]

与

\[ y'' + P(x)\,y' + Q(x)\,y = f_2(x) \]

的特解，则 \(y_1^*(x) + y_2^*(x)\) 就是原方程的特解。（可推广到 \(n\) 阶）

特征方程法

这个方法可以用来求 \(n\) 阶常系数齐次线性微分方程的通解。

由于 \(y=e^{rx}\) 和它的各阶导数都只相差一个常数因子，所以希望找到合适的常数 \(r\) 使该函数满足方程。找到 \(n\) 个线性无关的特解后就能构造出通解。

对于二阶常系数齐次线性微分方程

\[ y'' + p\,y'+q\,y = 0 \]

其中 \(p, q\) 为常数。可以按如下步骤求出通解：

  1. 写出特征方程。

    \[ r^2 + p\,r + q = 0 \]

  2. 求出特征方程的两个根 \(r_1, r_2\)。

  3. 按下表写出通解。
特征方程的根 \(r_1, r_2\) 通解
两个不相等的实根 \(y = C_1\,e^{r_1\,x} + C_2\,e^{r_2\,x}\)
两个相等的实根 \(y = (C_1 + C_2\,x)\,e^{r_1\,x}\)
一对共轭复根 \(\alpha\pm\beta\,i\) \(y = e^{\alpha\,x}\,(C_1\,\cos\beta\,x + C_2\,\sin\beta\,x)\)

推广

对于 \(n\) 阶常系数齐次线性微分方程

\[ y^{(n)} + p_1y^{(n - 1)} + \cdots + p_{n - 1}y' + p_ny = 0 \]

其中 \(p_1, \cdots, p_{n - 1}, p_n\) 都为常数。可以按如下步骤求出通解：

  1. 写出特征方程。

    \[ r^n + p_1r^{n - 1} + \cdots + p_{n - 1}r + p_n = 0 \]

  2. 求出特征方程的 \(n\) 个根 \(r_1, \cdots, r_{n - 1}, r_n\)。

  3. 按下表写出通解。
特征方程的根 微分方程通解中的对应项
单实根 \(r\) 给出一项： \(Ce^{rx}\)
一对单复根 \(r_{1, 2} = \alpha\pm\beta\,i\) 给出两项： \(e^{\alpha\,x}\,(C_1\,\cos\beta\,x + C_2\,\sin\beta\,x)\)
\(k\) 重实根 \(r\) 给出 \(k\) 项： \(e^{rx}(C_1 + C_2x + \cdots + C_kx^{k - 1})\)
一对 \(k\) 重复根 \(r_{1, 2} = \alpha\pm\beta\,i\) 给出 \(2k\) 项： \(e^{\alpha\,x}\,\left[(C_1 + C_2x + \cdots + C_kx^{k - 1})\,\cos\beta\,x + (D_1 + D_2x + \cdots + D_kx^{k - 1})\,\sin\beta\,x\right]\)

常数变易法

这个方法可以用来求 \(n\) 阶非齐次线性微分方程的通解。

将原方程对应的齐次方程的通解中的任意常数替换为新的未知函数，再回带到原方程确定未知函数，最终得到原方程的通解。

对于一阶非齐次线性微分方程

\[ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x)y = Q(x) \]

对应的齐次方程

\[ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x)y = 0 \]

的通解为

\[ y = Ce^{-\int P(x)\,\mathrm{d}x} \]

那么，可以令原方程的通解为

\[ y = u(x)e^{-\int P(x)\,\mathrm{d}x} \]

于是

\[ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = u'e^{-\int P(x)\,\mathrm{d}x} - uP(x)e^{-\int P(x)\,\mathrm{d}x} \]

带入原方程可得

\[ u' = Q(x)e^{\int P(x)\,\mathrm{d}x} \]

两端积分后可得 \(u(x)\) 。所以原方程通解为

\[ y = e^{-\int P(x)\,\mathrm{d}x}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)\,\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x + C\right) \]

其中 \(C\) 为任意常数。

对于二阶非齐次线性微分方程

\[ y'' + P(x)y' + Q(x)y = f(x) \]

如果已知对应的齐次方程

\[ y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0 \]

的通解为

\[ Y(x) = C_1\,y_1(x) + C_2\,y_2(x) \]

那么，可以令

\[ y = v_1(x)\,y_1(x) + v_2(x)\,y_2(x) \]

接下来，需要解一个关于 \(v_1', v_2'\) 的二元线性方程组

\[ \left\{\begin{matrix} y_1\,v_1' + y_2\,v_2' = 0 \\ y_1'\,v_1' + y_2'\,v_2' = f \end{matrix}\right. \]
关于这个方程组

因为两个未知函数 \(v_1\) 和 \(v_2\) 只需使 \(y\) 满足一个关系式（原方程），所以可以规定它们再满足一个关系式。由于

\[ y' = y_1v_1' + y_2v_2' + y_1'v_1 + y_2'v_2 \]

为了使 \(y''\) 的表示中不含 \(v_1''\) 和 \(v_2''\) ，可以设

\[ y_1\,v_1' + y_2\,v_2' = 0 \]

在这个条件下，将 \(y, y', y''\) 带入原方程可得

\[ y_1'\,v_1' + y_2'\,v_2' = f \]

如果系数行列式

\[ W = \begin{vmatrix} y_1& y_2\\ y_1'& y_2' \end{vmatrix} = y_1\,y_2' - y_1'\,y_2 \ne 0 \]

那么可以解得

\[ v_1' = -\dfrac{y_2\,f}{W}, v_2' = \dfrac{y_1\,f}{W} \]

假设 \(f(x)\) 连续，对上面两式积分可得 \(v_1, v_2\)。于是，原方程通解为

\[ y = C_1\,y_1 + C_2\,y_2 - y_1 \int \dfrac{y_2\,f}{W}\,\mathrm{d}x + y_2 \int \dfrac{y_1\,f}{W}\,\mathrm{d}x \]

其中 \(C_1, C_2\) 是任意常数。

待定系数法

这个方法可以用来求 \(n\) 阶常系数非齐次线性微分方程的通解。

原方程对应的齐次方程的通解可以用特征方程求得，所以只需要猜出原方程的一个特解就能构造出通解。

对于二阶常系数非齐次线性微分方程

\[ y'' + py' + qy = f(x) \]

其中 \(p, q\) 是常数。设它的一个特解为 \(y^*\)。

情况 1

\[ f(x) = e^{\lambda\,x} \, P_m(x) \]

其中 \(\lambda\) 是常数， \(P_m(x)\) 是 \(x\) 的一个 \(m\) 次多项式：

\[ P_m(x) = a_0x^m + a_1x^{m - 1} + \cdots + a_{m - 1}x + a_m \]

那么可以设

\[ y^* = x^kR_m(x)e^{\lambda x} \]

其中 \(R_m(x)\) 是 \(x\) 的一个 \(m\) 次多项式，而 \(k\) 的取值如下：

  • \(\lambda\) 不是特征方程的根， \(k = 0\) 。
  • \(\lambda\) 是特征方程的单根， \(k = 1\) 。
  • \(\lambda\) 是特征方程的重根， \(k = 2\) 。

将 \(y^*\) 带回原方程，对比系数就能求出该特解。

推广

推广到 \(n\) 阶后， \(k\) 是特征方程含根 \(\lambda\) 的重复次数。

  • 若 \(\lambda\) 不是特征方程的根， \(k = 0\) 。
  • 若 \(\lambda\) 是特征方程的 \(s\) 重根， \(k = s\) 。

情况 2

\[ f(x) = e^{\lambda\,x} \, \left [P_l(x)\cos\omega\,x + Q_n(x)\sin\omega\,x \right ] \]

其中

  • \(\lambda, \omega\) 是常数， \(\omega \ne 0\) 。
  • \(P_l(x)\) 和 \(Q_n(x)\) 分别是 \(x\) 的 \(l\) 次和 \(n\) 次多项式。
  • \(P_l(x)\) 和 \(Q_n(x)\) 中仅有一个可为零。

那么可以设

\[ y^* = x^ke^{\lambda x}[R_m^{(1)}(x)\cos\omega\,x + R_m^{(2)}(x) \sin\omega\,x] \]

其中 \(R_m^{(1)}(x)\) 和 \(R_m^{(2)}(x)\) 是 \(x\) 的 \(m\) 次多项式， \(m = \max\{l, n\}\)，而 \(k\) 的取值如下：

  • \(\lambda + \omega\,i\) （或 \(\lambda - \omega\,i\) ）不是特征方程的根， \(k = 0\) 。
  • \(\lambda + \omega\,i\) （或 \(\lambda - \omega\,i\) ）是特征方程的单根， \(k = 1\) 。

将 \(y^*\) 带回原方程，对比系数就能求出该特解。

推广

推广到 \(n\) 阶后， \(k\) 是特征方程含根 \(\lambda + \omega\,i\) （或 \(\lambda - \omega\,i\) ）的重复次数。

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