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中心极限定理

英文：Central limit theorem，简写：CLT。

很多实际问题中，有些随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响而形成的，但其中每个个别因素在总的影响中起的作用是微小的，这种随机变量往往近似服从 正态分布。

后面均假设 \(\{ X_n \}\) 是 随机变量 序列。

Lindeberg-Lévy CLT

也叫独立同分布中心极限定理。

若 \(X_i\) 相互独立，同分布，\(EX_i=\mu\)，\(DX_i=\sigma^2\) 则 \(\forall x \in \mathbb{R}\)，随机变量

\[ Y_n = \frac{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} X_i - E \left [ \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} X_i \right ]}{\sqrt{D \left [ \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} X_i \right ]}} = \frac{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} X_i - n\mu}{\sqrt{n}\sigma} \]

的分布函数 \(F_n(x)\) 满足

\[ \lim_{n \to \infty} F_n(x) = \lim_{n \to \infty} P \left ( \frac{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} X_i - n\mu}{\sqrt{n}\sigma} \le x \right ) = \int_{-\infty }^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2}} \mathrm{d}t = \Phi(x) \]

所以，当 \(n\) 充分大时，可以近似认为 \(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} X_i \sim N(n\mu, n\sigma^2)\)。

De Moivre-Laplace CLT

由 Lindeberg-Lévy CLT 可以推出：若 \(X \sim B(n,p)\)，当 \(n\) 充分大时，可以近似认为 \(X \sim N(np, np(1-p))\)。

Lyapunov CLT

若 \(X_i\) 相互独立，\(EX_i=\mu_i\)，\(DX_i=\sigma_i^2\)，设 \(B_n^2 = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} \sigma_i^2\)。如果 \(\exists \delta > 0\)，有

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{B_n^{2+\delta}} \sum_{i=1}^{n} E \left [ \left | X_i - \mu_i \right |^{2+\delta} \right ] = 0 \]

则当 \(n\) 充分大时，可以近似认为 \(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} X_i \sim N \left ( \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} \mu_i, \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} \sigma_i^2 \right )\)。

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