Monte Carlo 积分¶
基本思想
\[ \begin{align} \int_a^b f(x) \mathrm{d}x &= \int_a^b \frac{f(x)}{pdf(x)} \cdot pdf(x)\mathrm{d}x\\ \\ &=E \left ( \frac{f(X)}{pdf(X)} \right) \end{align} \]
其中 \(X \sim pdf(x)\)。这样，就将积分转化为 数学期望，然后可以用 大数定律 近似计算。
Monte Carlo estimator¶
按 \(X_i \sim pdf(x)\) 分布随机采样 \(N\) 次后取平均值。
\[ \int_a^b f(x) \mathrm{d}x \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \frac{f(X_i)}{pdf(X_i)} \]
如果是 均匀采样，那么 \(pdf(x)=\dfrac{1}{b-a}\)，上式变成
\[ \int_a^b f(x) \mathrm{d}x \approx \frac{b-a}{N} \sum_{i=1}^N f(X_i) \]
这是最基本的 Monte Carlo estimator。
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