辐射度量学¶

为了物理正确地计算光照，引入辐射度量学（Radiometry）。

立体角¶

角（Angle）是弧长除以半径，\(\theta=\dfrac{l}{r}\)，单位是 radians (rad)，一个圆是 \(2 \pi\) rad
立体角（Solid Angle）是球面上一块面积除以球径平方， \(\Omega=\dfrac{A}{r^2}\)，单位是 steradians (sr)，一个球是 \(4 \pi\) sr

微分¶

球面上的面积微元

\[ \begin{align} \mathrm{d}A&=(r \mathrm{d}\theta)(r \sin \theta \mathrm{d}\phi)\\ &=r^2 \sin \theta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi \end{align} \]

微分立体角

\[ \begin{align} \mathrm{d}\omega&=\dfrac{\mathrm{d}A}{r^2}\\ &=\sin \theta \mathrm{d} \theta \mathrm{d} \phi \end{align} \]

球坐标系中 \(\theta,\phi\) 可以确定一个方向，通常用 \(\omega\) 表示这个方向的单位向量。

积分¶

对整个球 \(S^2\) 积分

\[ \begin{align} \Omega&=\int_{S^2} \mathrm{d}\omega\\ &=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} \sin \theta \mathrm{d}\theta \mathrm{d} \phi\\ &=4\pi \end{align} \]

可以验证一个球是 \(4\pi\) sr。

Radiant energy¶

Radiant energy is the energy of electromagnetic radiation.

用 \(Q\) 表示，单位是焦耳（Joule）。

Radiant flux (power)¶

Radiant flux (power) is the energy emitted, reflected, transmitted or received, per unit time.

\[ \Phi=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} \]

单位时间到达某一面积的 energy，单位是瓦特（Watt）。

光度学（Photometry）中类似的量叫 Luminous flux，单位是流明（lumen, lm）。

Lambert's Cosine Law¶

类似磁通量，如果左边的 Radiant flux (power) 为 \(\Phi_1\)，那么中间 \(\Phi_2=\dfrac{\Phi_1}{2}\)，右边 \(\Phi_3 = \Phi_1 \cdot \cos \theta\)。

Radiant Intensity¶

The radiant (luminous) intensity is the power per unit solid angle emitted by a point light source.

\[ I(\omega)=\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}\omega} \]

单位是 \(W \cdot sr^{-1}\)。对于各向同性点光源（Isotropic Point Source）

\[ \begin{align} \Phi &= \int_{S^2} I \mathrm{d} \omega = 4\pi I\\ \\ I &= \frac{\Phi}{4\pi} \end{align} \]

光度学（Photometry）中类似的量叫 Luminous intensity，单位是坎德拉 \(cd = candela = lm \cdot sr^{-1}\)。

Irradiance¶

The irradiance is the power per unit area incident on a surface point.

\[ E(\mathbf{x})=\frac{\mathrm{d}\Phi(\mathbf{x})}{\mathrm{d}A} \]

单位是 \(W \cdot m^{-2}\)。如果把 \(\Phi(\mathbf{x})\) 类比为磁通量，\(E(\mathbf{x})\) 相当于 \(B \cos \theta\)，是隐含了 Lambert's Cosine Law 中的 \(\cos \theta\) 的。

光度学（Photometry）中类似的量叫 Illuminance，单位是勒克斯 \(lx=lux=lm \cdot m^{-2}\)。

Falloff¶

Irradiance 会随距离衰减，但 Radiant Intensity 是不会衰减的。

Radiance¶

Radiance is the fundamental field quantity that describes the distribution of light in an environment

Radiance is the quantity associated with a ray
Rendering is all about computing radiance

The radiance (luminance) is the power emitted, reflected, transmitted or received by a surface, per unit solid angle, per projected unit area.

\[ L(p,\omega)=\frac{\mathrm{d}^2 \Phi(p,\omega)}{\mathrm{d}\omega \mathrm{d}A \cos \theta} \]

单位是 \(W \cdot sr^{-1} \cdot m^{-2}\)。

光度学（Photometry）中类似的量叫 Luminance，单位是 \(cd \cdot m^{-2} = lm \cdot sr^{-1} \cdot m^{-2} = nit\)。

Incident Radiance¶

一种理解方式是把 \(\mathrm{d}A\) 除上去，得到的 \(\mathrm{d} E(p,\omega)\) ，它是 \(p\) 处从方向 \(\omega\) 到面积 \(\mathrm{d}A\) 的 Irradiance。由于 Lambert's Cosine Law， \(\mathrm{d}E(p,\omega)\) 隐含了一个和物体朝向有关的 \(\cos \theta\)，但 Radiance 描述的是光线的性质，不应该和某个物体有关，所以要除以 \(\cos \theta\) 。\(\mathrm{d}E(p,\omega)\) 是 per unit area 的量，除以 \(\cos \theta\) 后， \(L(p,\omega)\) 就成了 per projected unit area 的量。

\[ L(p,\omega)=\frac{\mathrm{d} E(p,\omega) / \cos \theta}{\mathrm{d}\omega} \]

这个公式一般用于描述 Incident Radiance: Irradiance per unit solid angle arriving at the surface. 进而计算入射的 Irradiance。

\[ \begin{align} \mathrm{d} E(p,\omega) &= L_i(p,\omega) \cos \theta \mathrm{d} \omega\\ \\ E(p) &=\int_{H^2}L_i(p,\omega) \cos \theta \mathrm{d} \omega \end{align} \]

Exiting Radiance¶

另一种理解方式是把 \(\mathrm{d}\omega\) 除上去，得到 \(\mathrm{d}I(p,\omega)\)，然后除以 \(\mathrm{d}A\) 的投影面积。

\[ L(p,\omega)=\frac{\mathrm{d} I(p,\omega)}{\mathrm{d}A \cdot \cos \theta} \]

这个公式一般用于描述 Exiting Radiance: The intensity per unit projected area leaving the surface.

参考¶

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