概率密度函数的坐标系变换
借助雅可比行列式，将概率密度函数从一个坐标系变换到另一个坐标系。
雅可比行列式
考虑 \(n\) 维空间的一个变换（不一定是线性的）
\[ \left\{\begin{matrix} y_1=f_1(x_1,x_2,\dots,x_n)\\ y_2=f_2(x_1,x_2,\dots,x_n)\\ \vdots\\ y_n=f_n(x_1,x_2,\dots,x_n) \end{matrix}\right. \]
全微分后得到
\[ \mathrm{d}y_i=\sum_{j=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x_j} \mathrm{d}x_j, \quad i=1,2,\dots,n \]
写成矩阵形式
\[ \begin{bmatrix} \mathrm{d}y_1\\ \mathrm{d}y_2\\ \vdots\\ \mathrm{d}y_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} &\dfrac{\partial f_1}{\partial x_2} &\cdots &\dfrac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ \dfrac{\partial f_2}{\partial x_1} &\dfrac{\partial f_2}{\partial x_2} &\cdots &\dfrac{\partial f_2}{\partial x_n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ \dfrac{\partial f_n}{\partial x_1} &\dfrac{\partial f_n}{\partial x_2} &\cdots &\dfrac{\partial f_n}{\partial x_n} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mathrm{d}x_1\\ \mathrm{d}x_2\\ \vdots\\ \mathrm{d}x_n \end{bmatrix} \]
中间的矩阵就是雅可比矩阵（Jacobian matrix），记作 \(\mathbf{J}\) 或者 \(\dfrac{\partial (f_1,f_2,\dots, f_n)}{\partial (x_1,x_2,\dots, x_n)}\)。雅可比矩阵的行数和列数可以不相等，但这里不考虑。
雅可比矩阵的行列式，称为雅可比行列式（Jacobian determinant）。根据行列式的几何意义，雅可比行列式的绝对值就是 \(\mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \cdots \mathrm{d}x_n\) 微元到 \(\mathrm{d}y_1 \mathrm{d}y_2 \cdots \mathrm{d}y_n\) 微元的缩放系数，即
\[ \mathrm{d}y_1 \mathrm{d}y_2 \cdots \mathrm{d}y_n= \left|\det \left(\dfrac{\partial (f_1,f_2,\dots, f_n)}{\partial (x_1,x_2,\dots, x_n)} \right)\right| \cdot \mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \cdots \mathrm{d}x_n \]
如果雅可比行列式小于零，说明坐标系手性变了，比如从左手坐标系变成右手坐标系，这里取绝对值忽略该影响。
极坐标到直角坐标
极坐标到直角坐标的变换为
\[ \begin{align} x&=r \cos \theta\\ y&=r \sin \theta \end{align} \]
所以
\[ \det \left(\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta)} \right)=\begin{vmatrix} \cos \theta &-r \sin \theta\\ \sin \theta &r \cos \theta \end{vmatrix}=r \]
球坐标到直角坐标
球坐标到直角坐标的变换为
\[ \begin{align} x&=r \sin \theta \cos \varphi\\ y&=r \sin \theta \sin \varphi\\ z&=r \cos \theta \end{align} \]
所以
\[ \det \left(\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta,\varphi)} \right)=\begin{vmatrix} \sin \theta \cos \varphi &r \cos \theta \cos \varphi &-r \sin \theta \sin \varphi \\ \sin \theta \sin \varphi &r \cos \theta \sin \varphi &r \sin \theta \cos \varphi\\ \cos \theta &-r \sin \theta &0 \end{vmatrix}=r^2 \sin \theta \]
立体角到球坐标
之前推过 立体角 微元
\[ \mathrm{d}\omega=\sin \theta \mathrm{d} \theta \mathrm{d} \varphi \]
所以可以认为立体角到 \((\theta,\varphi)\) 的雅可比行列式值为 \(\sin \theta\)。
概率密度函数的变换
以二维为例，假设有一个变换
\[ \left\{\begin{matrix} u=u(x,y)\\ v=v(x,y) \end{matrix}\right. \]
概率密度函数由 \(f_{XY}(x,y)\) 变换为 \(f_{UV}(u,v)\)，应该有
\[ f_{UV}(u,v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v=f_{XY}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \]
又因为面积微元满足
\[ \mathrm{d}u\mathrm{d}v=\left|\det \left(\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} \right)\right|\mathrm{d}x\mathrm{d}y \]
所以
\[ f_{UV}(u,v)=\frac{f_{XY}(x,y)}{\left|\det \left(\dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} \right)\right|} \]
其实也很好理解，从 \((x,y)\) 到 \((u,v)\)，面积微元变大了 \(\left|\det \left(\dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} \right)\right|\)，概率密度就要相应地缩小，这样才能满足概率密度的归一化条件。
参考
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