场
Nabla 算子
\(\nabla\) 叫 Nabla 算子、Del 算子，是一个 n 维向量微分算子。三维直角坐标系中，可以表示为
\[ \nabla = \frac{\partial}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial}{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial}{\partial z} \vec{k} \]
它实际上不是一个向量，但是用的时候可以看成向量。
梯度
设 \(f\) 为一个标量场。在三维直角坐标系中
\[ \mathbf{grad} \ f = \nabla f = \left (\frac{\partial f}{\partial x}, \ \frac{\partial f}{\partial y}, \ \frac{\partial f}{\partial z} \right)^T \]
梯度（Gradient）是一个向量。它的方向是该点处 \(f\) 的最大增长方向。它的大小是这个方向的增长率，是该点处所有方向导数的最大值。
旋度
设 \(\vec{F}\) 为一个向量场。
\[ (\mathbf{curl} \ F) \cdot \vec{n} = \lim_{S \to 0} \frac{1}{\left | S \right | } \oint_{\partial S^+} F \cdot \mathrm{d}\vec{l} \]
\(\partial S^+\) 是面 \(S\) 的正向边界，是一条闭合的曲线。\(\vec{n}\) 是面 \(S\) 的单位法向量。\(\partial S^+\) 和 \(\vec{n}\) 的方向满足右手定则。有时候 \(\mathbf{curl} \ F\) 也写成 \(\mathbf{rot} \ F\)。
旋度（Curl）就是环量的面密度，是一个向量。它刻画了三维向量场中一个点上的旋转。它的方向是旋转的轴（右手定则确定），大小是旋转的量。它在方向 \(\vec{n}\) 上的投影大小表示在这个方向上的环量面密度大小，旋度方向的环量面密度最大。
在三维直角坐标系中
\[ \mathbf{curl} \ \vec{F} = \nabla \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i}& \vec{j}& \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x& F_y& F_z \\ \end{vmatrix} \]
展开后就是
\[ \left (\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}, \ \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}, \ \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right )^T \]
旋度定理
即斯托克斯公式 （Stokes' theorem）。
\[ \oint_{\partial \Sigma^+} F \cdot \mathrm{d}\vec{l} = \iint_\Sigma ( \nabla \times \vec{F} ) \cdot \mathrm{d}\vec{S} \]
区域边界的环量等于区域面积微元的旋度之和。\(\partial \Sigma^+\) 的方向和 \(\Sigma\) 的正向满足右手定则。
格林公式
格林公式（Green's theorem）就是二维版的斯托克斯公式。
\[ \oint_{\partial \Sigma^+} P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y = \iint_\Sigma \left (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right ) \mathrm{d}x\mathrm{d}y \]
散度
设 \(\vec{F}\) 为一个向量场。
\[ \mathbf{div} \ \vec{F} = \lim_{V \to 0} \frac{1}{\left | V \right | } \iint_{\partial V} \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{S} \]
\(\partial V\) 是体积 \(V\) 的表面，是一个 闭曲面。
散度（Divergence）就是穿过闭曲面通量的体密度，是一个标量。它描述向量场里一个点是汇聚点还是发源点，形象地说，就是包含这一点的一个微小体元中的向量是 ⌈向外⌋ 居多还是 ⌈向内⌋ 居多。
在三维直角坐标系中
\[ \mathbf{div} \ \vec{F} = \nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} \]
高斯散度定理
即高斯公式。
\[ \iint_{\partial V} \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \iiint_V ( \nabla \cdot \vec{F} ) \mathrm{d}V \]
穿过闭曲面的通量等于其内部体积微元的散度之和。
梯无旋，旋无散
- 梯度场的旋度为零，\(\nabla \times (\nabla f) \equiv 0\)。
- 旋度场的旋度为零，\(\nabla \cdot (\nabla \times \vec{F}) \equiv 0\)。
特殊的场
- 旋度为零的向量场是 无旋场/保守场/有势场，比如重力场、静电场。
- 旋度为零的向量场是 无散场/无源场/管形场，比如磁场、涡旋电场。
- 无散且无旋的向量场是 调和场。
Laplace 算子
可以记作是两个 Nabla 算子点乘
\[ \Delta = \nabla^2 = \nabla \cdot \nabla = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \]
可用 Laplace 算子对梯度求旋度
\[ \nabla \cdot (\nabla f) = \Delta f \]