立体角¶
- 角（Angle）是弧长除以半径，\(\theta=\dfrac{l}{r}\)， 单位是 radians (rad)，一个圆是 \(2 \pi\) rad
- 立体角（Solid Angle）是球面上一块面积除以球径平方， \(\Omega=\dfrac{A}{r^2}\)， 单位是球面度 steradians (sr)，一个球是 \(4 \pi\) sr
以立体角为自变量的函数，绘制图像的方法和极坐标函数类似。
微分¶
球面上的面积微元
\[ \begin{align} \mathrm{d}A&=(r \mathrm{d}\theta)(r \sin \theta \mathrm{d}\phi)\\ &=r^2 \sin \theta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi \end{align} \]
微分立体角
\[ \begin{align} \mathrm{d}\omega&=\dfrac{\mathrm{d}A}{r^2}\\ &=\sin \theta \mathrm{d} \theta \mathrm{d} \phi \end{align} \]
球坐标系中 \(\theta,\phi\) 可以确定一个方向，通常用 \(\omega\) 表示这个方向的单位向量。
积分¶
对整个球 \(S^2\) 积分
\[ \begin{align} \Omega&=\int_{S^2} \mathrm{d}\omega\\ &=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} \sin \theta \mathrm{d}\theta \mathrm{d} \phi\\ &=4\pi \end{align} \]
可以验证一个球是 \(4\pi\) sr。