冲激响应¶
激励为 \(\delta(t)\) 时，系统的零状态响应，记作 \(h(t)\)。
\[ h(t) := T[\{0\}, \delta(t)] \]
对 LTI 系统，微分方程等号右边只有 \(f(t)=\delta(t)\) 时
\[ \left\{\begin{array}{l} h^{(n)}(t) + a_{n-1}h^{(n-1)}(t) + \cdots + a_0h(t)=\delta(t) \\ h^{(j)}(0_-)=0, \ j=0,1,2,\cdots,n-1 \end{array}\right. \]
可得 \(0_+\) 时的初始值
\[ \left\{\begin{array}{l} h^{(j)}(0_+)=0, \ j=0,1,2,\cdots,n-2 \\ h^{(n-1)}(0_+)=1 \end{array}\right. \]
\(t>0\) 时，微分方程可以写成
\[ h^{(n)}(t) + a_{n-1}h^{(n-1)}(t) + \cdots + a_0h(t)=0 \]
设 \(H(x)\) 是齐次解，则
\[ h(t)=H(t)\varepsilon(t) \]
与阶跃响应的关系¶
在 LTI 系统中，等于阶跃响应的导数。
\[ h(t)=g'(t) \]