广义函数¶
广义函数（Generalized Function）是对普通函数的推广，通常是指在分布理论中使用的对象，也称为分布（Distribution）。它们被用来表示某些非典型函数或者非常规的对象，如 Dirac Delta 函数等。
广义函数是 通过它们作用于其他函数的积分来定义的，并不是传统意义上的函数。
大概就是，选择一类性能良好的函数 \(\varphi(t)\) 称为检验函数（Test Function），它们构成了一个检验函数空间 \(\varPhi\)，一个广义函数 \(g(t)\) 赋予每个 \(\varphi(t) \in \varPhi\) 一个数值 \(N\)，该数与广义函数 \(g(t)\) 和检验函数 \(\varphi(t)\) 有关，记作 \(N[g(t),\varphi(t)]\)。一般可以写为
\[ N[g(t),\varphi(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty} g(t)\varphi(t)\mathrm{d}t \]
也可以写成泛函的形式
\[ J_g[\varphi]=\int_{-\infty}^{+\infty} g(t)\varphi(t)\mathrm{d}t \]
泛函 \(J_g[\varphi]\) 把每个 \(\varphi(t) \in \varPhi\) 映射到一个数。
判断相等¶
如果两个广义函数 \(f(t),g(t)\) 满足 \(\forall \varphi(t) \in \varPhi\) 都有
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\varphi(t)\mathrm{d}t=\int_{-\infty}^{+\infty} g(t)\varphi(t)\mathrm{d}t \]
则 \(f(t)=g(t)\)。需要注意： \(f(t)\) 和 \(g(t)\) 可能有有限个点是不一样的。