差分方程¶
一般形式
\[ F[k, y(k), \nabla y(k), \cdots, \nabla^n y(k)] = 0 \]
差分 的最高阶为 \(n\) 阶，所以称为 \(n\) 阶差分方程。各阶差分可以写成 \(y(k)\) 的移位序列的线性组合，所以差分方程也可以写为
\[ G[k, y(k), y(k-1), \cdots, y(k-n)] = 0 \]
本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，可用迭代法求数值解。
对单输入-单输出的 LTI 系统，若激励为 \(f(k)\)，全响应为 \(y(k)\)，则其数学模型一般为 \(n\) 阶常系数线性差分方程
\[ y(k) + a_{n-1} y(k-1) + \cdots + a_0 y(k-n) = b_m f(k) + b_{m-1} f(k-1) + \cdots + b_0 f(k-m) \]
齐次解（自由响应）¶
由特征方程
\[ \lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + \cdots + a_1 \lambda + a_0 = 0 \]
求得 \(n\) 个特征根。
| 特征根 \(\lambda\) | 齐次解中的对应项 |
|---|---|
| 单实根 | \(C\lambda^k\) |
| \(r\) 重实根 | \(\lambda^k \displaystyle\sum\limits_{i=0}^{r-1} C_i k^i\) |
| 一对共轭复根 | |
| \(r\) 重共轭复根 |
特解（强迫响应）¶
| 激励 \(f(k)\) | 特解形式 |
|---|---|
| \(k^m\) | \(k^r \displaystyle\sum\limits_{i=0}^{m} P_i k^i\)，\(r\) 为特征根中等于 \(1\) 的数量 |
| \(a^k\) | \(a^k \displaystyle\sum\limits_{i=0}^{r} P_i k^i\)，\(r\) 为特征根中等于 \(a\) 的数量 |
| \(\cos(\beta k)\) 或 \(\sin(\beta k)\) | \(P\cos(\beta k) + Q\sin(\beta k)\)，所有特征根都不等于 \(e^{\pm j\beta}\) |
零输入响应¶
\[ y_{zi}(k) + a_{n-1} y_{zi}(k-1) + \cdots + a_0 y_{zi}(k-n) = 0 \]
如果激励在 \(k=0\) 时接入，则初始状态
- \(y_{zi}(-1)=y(-1)\)
- \(y_{zi}(-2)=y(-2)\)
- \(\cdots\)
- \(y_{zi}(-n)=y(-n)\)
因为是零输入，所以可以直接把他们当初始值，没必要再算 \(y_{zi}(0), y_{zi}(1)\) 等值。
最后记得乘 \(\varepsilon(k)\)。
零状态响应¶
\[ \left\{\begin{array}{l} y_{zs}(k) + a_{n-1} y_{zs}(k-1) + \cdots + a_0 y_{zs}(k-n) = b_m f(k) + b_{m-1} f(k-1) + \cdots + b_0 f(k-m)\\ y_{zs}(-1)=y_{zs}(-2)=\cdots=y_{zs}(-n)=0 \end{array}\right. \]
根据递推，可求出初始值 \(y_{zs}(0),y_{zs}(1),\cdots,y_{zs}(n-1)\)。
最后记得乘 \(\varepsilon(k)\)。
全响应¶
它有两种分解方式
- 自由响应 + 强迫响应
- 零输入响应 + 零状态响应