阶跃响应¶
激励为 \(\varepsilon(t)\) 时，系统的零状态响应，记作 \(g(t)\)。
\[ g(t) := T[\{0\}, \varepsilon(t)] \]
对 LTI 系统，微分方程等号右边只有 \(f(t)=\varepsilon(t)\) 时
\[ \left\{\begin{array}{l} g^{(n)}(t) + a_{n-1}g^{(n-1)}(t) + \cdots + a_0g(t)=\varepsilon(t) \\ g^{(j)}(0_-)=0, \ j=0,1,2,\cdots,n-1 \end{array}\right. \]
可得 \(0_+\) 时的初始值
\[ g^{(j)}(0_+)=0, \ j=0,1,2,\cdots,n-1 \]
\(t>0\) 时，微分方程可以写成
\[ g^{(n)}(t) + a_{n-1}g^{(n-1)}(t) + \cdots + a_0g(t)=1 \]
特解是常数 \(\dfrac{1}{a_0}\)。设 \(G(x)\) 是齐次解，则
\[ g(t)=\left (G(t) + \frac{1}{a_0} \right ) \varepsilon(t) \]
与冲激响应的关系¶
在 LTI 系统中，等于冲激响应的积分。
\[ g(t)=\int_{-\infty}^{t}h(\tau)\mathrm{d}\tau \]