矩估计法¶
思想：受 Khintchine LLN 启发，用样本的各阶原点矩作为总体的各阶原点矩的估计。有几个参数就列几个方程，然后把参数求出来。（矩的阶数最好从小到大依次写，别跳）
设总体 \(X\) 的分布函数为 \(F(x;\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k)\)，其中 \(\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k\) 为未知的参数。假设总体 \(X\) 的 \(k\) 阶原点矩 \(\mu_k=EX^k\) 存在，由下面方程组
\[ \left\{\begin{matrix} \mu_1(\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k)&=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}X_i \\ \mu_2(\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k)&=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}X_i^2\\ \vdots \\ \mu_k(\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k)&=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}X_i^k \end{matrix}\right. \]
解得 \(\hat{\theta}_i=\hat{\theta}_i(X_1,X_2,\cdots,X_n)\) (\(i=1,2,\cdots,k\)) 作为参数 \(\theta_i\) 的估计量。
- 称 \(\hat{\theta}_i(X_1,X_2,\cdots,X_n)\) 为 \(\theta_i\) 的矩估计量。
- 称 \(\hat{\theta}_i(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 为 \(\theta_i\) 的矩估计值。