随机变量¶
设 \(\Omega = \{ \omega \}\) 是随机试验的样本空间，称定义在样本空间 \(\Omega\) 上的单值实值函数 \(X = X \left(\omega \right)\) 为随机变量。
\(\forall L \subset \mathbb{R}\)，则 \(\{ X \in L \}\) 表示事件 \(\{ \omega \mid X \left(\omega \right) \in L \}\)，即样本空间中满足 \(X \left(\omega \right) \in L\) 的所有样本点 \(\omega\) 组成的事件。
随机变量的分布函数¶
设 \(X\) 是一个随机变量，称函数
为随机变量 \(X\) 的分布函数 (distribution function) 或者累积分布函数 (cumulative distribution function、CDF)。
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\(0 \le F \left(x \right) \le 1 \ (x \in \mathbb{R})\)，且 \(F \left(-\infty \right) = 0\)，\(F \left(+\infty \right) = 1\)。
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\(F \left(x \right)\) 是 单调不减 的 右连续 函数。
满足这两条性质的 \(F \left(x \right)\)，也一定是某个随机变量的分布函数。
\(\forall x_1 < x_2\)，有
离散型随机变量¶
设 \(X\) 是随机变量，如果其可能的取值为有限个或可列无限多个，则称 \(X\) 为离散型随机变量 (discrete random variable)。
分布律¶
设 \(X\) 是离散型随机变量，其可能的取值为 \(x_1, x_2, \cdots, x_i, \cdots\) 称
为 \(X\) 的分布律 (probability mass function)，或表示为
| \(X\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(\cdots\) | \(x_i\) | \(\cdots\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(P\) | \(p_1\) | \(p_2\) | \(\cdots\) | \(p_i\) | \(\cdots\) |
-
\(p_i \ge 0 \left(i=1,2,\cdots \right)\)。
-
\(\displaystyle\sum\limits_{i} p_i = 1\)。
满足这两条性质的一列数，也一定是某个离散型随机变量的分布律。
分布函数¶
设离散型随机变量 \(X\) 的分布律为
则 \(X\) 的分布函数为
可从 \(F \left(x \right)\) 的间断点（函数值发生跳跃的地方）逆推出 \(X\) 的分布律。
若 \(x_i \left(i=1,2,\cdots \right)\) 为 \(F \left(x \right)\) 的间断点，则 \(X\) 的分布律为
连续型随机变量¶
概率密度¶
设 \(X\) 是随机变量，其分布函数为 \(F\left(x \right)\)，如果存在非负可积函数 \(f\left(x \right)\)，使得
则称 \(X\) 为连续型随机变量 (continuous random variable)，称 \(f\left(x \right)\) 为 \(X\) 的概率密度函数 (probability density function)，简称概率密度。
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\(f\left(x \right) \ge 0 \ \left(-\infty<x<+\infty \right)\)。
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\(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\left(x \right) \mathrm{d}x = 1\)。
满足这两条性质的 \(f \left(x \right)\)，也一定是某个连续型随机变量的概率密度。
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\(P\left(a < X \le b \right) = \displaystyle\int_{a}^{b} f\left(x \right) \mathrm{d}x\)。
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在 \(f\left(x \right)\) 的连续点 \(x\) 处，有 \(F'\left(x \right)=f\left(x \right)\)。
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\(F\left(x \right)\) 在 \(\left(-\infty, +\infty \right)\) 上连续。
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\(P\left(X=a \right)=0\)，但 \(\{ X=a \}\) 不是 不可能事件。（不可能事件的概率是零，但概率是零的事件未必是不可能事件。）