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超几何分布

设有 \(N\) 件产品，其中有 \(M\) 件次品，从中任取 \(n\) 件，则取出的次品数 \(X\) 的分布律为

\[ P\left(X=k \right)=\frac{C_M^k C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n} \ , \ k=0,1,2,\cdots, \min\{M, n\} \]

称 \(X\) 服从参数为 \(N\)、\(M\)、\(n\) 的超几何分布 (hypergeometric distribution)。

对于固定的 \(n\)，当 \(N \to \infty\) 时，\(\dfrac{M}{N} \to p\)，则

\[ \lim_{N \to \infty} P\left(X=k \right) = C_{n}^{k} p^k \left(1-p \right)^{n-k} \]

  • 当 \(n\) 相对 \(N\) 较小，如 \(\dfrac{n}{N}\) 不超过 \(5\%\) 时，超几何分布可用二项分布近似计算。

  • 超几何分布的背景是不放回抽样。二项分布的背景是放回抽样。当 \(N\) 很大时，不放回抽样近似于放回抽样。