旋度¶
设 \(\vec{F}\) 为一个向量场。
\[ (\mathbf{curl} \ F) \cdot \vec{n} = \lim_{S \to 0} \frac{1}{\left | S \right | } \oint_{\partial S^+} F \cdot \mathrm{d}\vec{l} \]
\(\partial S^+\) 是面 \(S\) 的正向边界，是一条闭合的曲线。\(\vec{n}\) 是面 \(S\) 的单位法向量。\(\partial S^+\) 和 \(\vec{n}\) 的方向满足右手定则。有时候 \(\mathbf{curl} \ F\) 也写成 \(\mathbf{rot} \ F\)。
旋度（Curl）就是环量的面密度，是一个向量。它刻画了三维向量场中一个点上的旋转。它的方向是旋转的轴（右手定则确定），大小是旋转的量。它在方向 \(\vec{n}\) 上的投影大小表示在这个方向上的环量面密度大小，旋度方向的环量面密度最大。
在三维直角坐标系中
\[ \mathbf{curl} \ \vec{F} = \nabla \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i}& \vec{j}& \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x& F_y& F_z \\ \end{vmatrix} \]
展开后就是
\[ \left (\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}, \ \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}, \ \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right )^T \]
旋度定理¶
即斯托克斯公式 （Stokes' theorem）。
\[ \oint_{\partial \Sigma^+} F \cdot \mathrm{d}\vec{l} = \iint_\Sigma ( \nabla \times \vec{F} ) \cdot \mathrm{d}\vec{S} \]
区域边界的环量等于区域面积微元的旋度之和。\(\partial \Sigma^+\) 的方向和 \(\Sigma\) 的正向满足右手定则。
格林公式¶
格林公式（Green's theorem）就是二维版的斯托克斯公式。
\[ \oint_{\partial \Sigma^+} P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y = \iint_\Sigma \left (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right ) \mathrm{d}x\mathrm{d}y \]