欧拉方程¶
欧拉方程的形式如下
\[ x^ny^{(n)} + p_1x^{n - 1}y^{(n - 1)} + \cdots + p_{n - 1}xy' + p_ny = f(x) \]
其中 \(p_1, p_2, \cdots, p_n\) 为常数。
作变换 \(x = e^t\) 或 \(t = \ln x\) ，将 \(x\) 换成 \(t\) 。如果将 \(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\) 记为 \(\mathrm{D}\)，那么有
\[ x^ky^{(k)} = \mathrm{D}(\mathrm{D} - 1) \cdots (\mathrm{D} - k + 1)y \]
带入欧拉方程就能得到一个以 \(t\) 为自变量的常系数线性微分方程。
例题¶
\[ x^3y''' + x^2y'' - 4xy' = 3x^2 \]
作变换 \(x = e^t\) 或 \(t = \ln x\) ，原方程化为
\[ \mathrm{D}(\mathrm{D} - 1)(\mathrm{D} - 2)y + \mathrm{D}(\mathrm{D} - 1)y - 4\mathrm{D}y = 3e^{2t} \]
化简得
\[ \mathrm{D}^3y - 2\mathrm{D}^2y - 3\mathrm{D}y = 3e^{2t} \]
即
\[ y''' - 2y'' - 3y' = 3e^{2t} \]
这是一个关于 \(t\) 的三阶常系数非齐次线性微分方程。