微分方程¶
- 微分方程：表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。
- 微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数。
- 高阶：二阶及以上。
- 微分方程的解：带入微分方程后能使该方程成为恒等式的函数。
- 隐式解：函数为隐函数。
- 微分方程的通解：含有任意常数，且任意常数的个数等于微分方程的阶的解。
- 隐式通解：解为隐式解。
- 微分方程的特解：确定了任意常数的通解。
- 微分方程的积分曲线：微分方程的解的图形（这个图形是一条曲线）。
- 初值条件：用来确定通解中的任意常数的条件。
- 初值问题：求微分方程满足一定初值条件的特解的问题。
分离变量¶
如果一阶微分方程可以写成
\[ g(y)\,\mathrm{d}y = f(x)\,\mathrm{d}x \]
的形式，那么它称为 可分离变量的微分方程，两边积分就能求解。
\[ \int g(y)\,\mathrm{d}y = \int f(x)\,\mathrm{d}x \]
齐次方程¶
如果一阶微分方程可以写成
\[ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \varphi(\dfrac{y}{x}) \]
的形式，那么它称为齐次方程。令
\[ u = \dfrac{y}{x} \]
则有
\[ y = ux,\ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = u + x\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \]
代入原方程可得
\[ u + x\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \varphi(u) \]
分离变量即可求解。
转化为齐次¶
方程
\[ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f(\dfrac{ax + by + c}{a_1x + b_1y + c_1}) \]
齐次情况¶
当 \(c = c_1 = 0\) 时是齐次方程
\[ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \varphi(\dfrac{y}{x}) \]
其中
\[ \varphi(x) = f(\dfrac{a + bx}{a_1 + b_1x}) \]
非齐次情况 1¶
如果
\[ \dfrac{a_1}{a} = \dfrac{b_1}{b} = \lambda \]
那么原方程可以写成
\[ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f(\dfrac{ax + by + c}{\lambda(ax + by) + c_1}) \]
的形式。此时，令
\[ v = ax + by \]
带入原方程得
\[ \dfrac{1}{b}(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} - a) = f(\dfrac{v + c}{\lambda v + c_1}) \]
分离变量即可求解。
非齐次情况 2¶
如果
\[ \dfrac{a_1}{a} \ne \dfrac{b_1}{b} \]
可以令
\[ x = X + h,\ y = Y + k \]
其中 \(h\) 和 \(k\) 是待定的常数。于是
\[ \mathrm{d}x = \mathrm{d}X,\ \mathrm{d}y = \mathrm{d}Y \]
方程变为
\[ \dfrac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X} = f(\dfrac{aX + bY + ah + bk + c}{a_1X + b_1Y + a_1h + b_1k + c_1}) \]
解方程组
\[ \left\{\begin{matrix} ah + bk + c = 0 \\ a_1h + b_1k + c_1 = 0 \end{matrix}\right. \]
解得 \(h\) 和 \(k\) 的值后代入可得齐次方程
\[ \dfrac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X} = f(\dfrac{aX + bY}{a_1X + b_1Y}) \]
降阶 1¶
对于微分方程
\[ y^{(n)} = f(x) \]
只需要两边连续积分 \(n\) 次就能求出通解。
降阶 2¶
对于微分方程
\[ y'' = f(x, y') \]
设
\[ y' = p \]
原方程就变为一个一阶微分方程
\[ p' = f(x, p) \]
降阶 3¶
对于微分方程
\[ y'' = f(y, y') \]
设
\[ y' = p \]
那么
\[ y'' = \dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} = \dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} \cdot \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = p \dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} \]
原方程就变为一个关于 \(y, p\) 的一阶微分方程
\[ p \dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} = f(y, p) \]